考题类型包括：
- Ⅰ类曲线积分的计算：对弧长的曲线积分 $\int_L f(x,y)ds$
- Ⅱ类曲线积分的计算：对坐标的曲线积分 $\int_L Pdx + Qdy$
- Ⅰ类曲面积分的计算：对面积的曲面积分 $\int_S f(x,y)d \sigma$
- Ⅱ类曲面积分的计算：对坐标的曲面积分 $\int_S Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$
- 积分与路径无关的证明；无关求$u(x,y)$ / 无关求$\int_c Pdx+Qdy$；无关求$P$、$Q$
- 物理应用：旋度、散度、梯度
Ⅰ类曲线积分的计算 $\int_L f(x,y)ds$
替代法
- $\int_L f(x,y)ds = \int_{t1}^{t2} f[ x(t), y(t)] \sqrt{(x’)^2 + (y’)^2} dt$
- $\int_L f(x,y)ds = \int_a^b f[x, y(x)] \sqrt{1 + (y’)^2}dx$
- $\int_L f(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f[r(\theta)cos\theta, r(\theta)sin\theta]\sqrt{r^2(\theta) + [r’(\theta)]^2}$
对称
- 轴对称：曲线沿着$x/y$轴对称
- 若$f_1=f_2$，$ \int_L f=2\int_{L_1} f $
- 若$f_1=-f_2$, $\int_L f=0$
- 轮换对称性：$f(x,y) = f(y,x)$
- $\int_L f(x,y)ds = \frac{1}{2} \int_L [f(x,y) + f(y,x)]ds$
- $\int_L f(x,y,z)ds = \frac{1}{3} \int_L [f(x,y,z) + f(y,z,x) + f(z,x,y)]ds$
Ⅱ类曲线积分的计算 $\int_L Pdx + Qdy$
2-dim：$\int_L Pdx + Qdy$
替代法
- $\int_L Pdx+Qdy = \int_{t_1}^{t_2} { P[x(t),y(t)]*x’(t) + Q[x(t),y(t)]*y’(t) }dt$
- $\int_L Pdx+Qdy = \int_a^b { P[x,y(x)]*1 + Q[x ,y(x)]*y’ }dx$
对称
- 关于$x$轴对称
- 若$f_1=f_2$，$ \int_L f=2\int_{L_1} f $
- 若$f_1=-f_2$, $\int_L f=0$
- 关于$y$轴对称
- 若$f_1=f_2$，$ \int_L f=0$
- 若$f_1=-f_2$, $\int_L f=2\int_{L_1} f $
环路积分：$\oint_L Pdx+Qdy$
格林公式
- $\oint_L Pdx+Qdy = \iint_\Sigma (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$
- $dσ=dxdy$
- 条件1：$\Sigma$联通
- 条件2：$L$为$\Sigma$正向边界（右手拇指指向的方向和$\Sigma$方向相同）
- 条件3：$P$、$Q$在$\Sigma$上连续可偏导
挖去奇点转化为格林公式
$\oint_L = \oint_L + \oint_{L_0^-} + \oint_{L_0^+}$
$\because \oint_L + \oint_{L_0^-} = 0$
$\therefore \oint_L = \oint_{L_0^+}$
- 注意：$\oint_L + \oint_{L_0^-} = 0$不总是成立。格林公式的条件只有连续可偏导
非环路积分：$\int_L Pdx+Qdy$
加线，变成环路
略
路径无关，改为好算的折线
- 路径无关的充要条件
- $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
- $\exists u(x,y)$使得$du=Pdx+Qdy$ 【全微分】
- $u(x,y)$的梯度$(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})$为$(P,Q)$
- $P = \frac{\partial u}{\partial x}$
- $Q = \frac{\partial u}{\partial y}$
- $\forall$闭曲线$\oint_L = 0$
3-dim：$\int_L Pdx + Qdy + Rdz$
替代法
- $\int_L Pdx+Qdy+Rdz = \int_{t_1}^{t_2} { P[x(t),y(t)]*x’(t) + Q[x(t),y(t)]*y’(t) + R[x(t),y(t)]*z’(t) }dt$
环路积分：$\oint_L Pdx+Qdy+Rdz$
斯托克斯公式
$\oint_L Pdx + Qdy + Rdz = \iint_\Sigma
\left(
\begin {matrix}
dydz & dxdz & dxdy \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end {matrix}
\right)$$\oint_L Pdx + Qdy + Rdz = \iint_\Sigma
\left(
\begin {matrix}
cos\alpha & cos\beta & cos\gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end {matrix}
\right)dS$- $\Sigma$：绷在$L$上的面
- $\Sigma$方向：右手准则。四指沿曲线方向时，拇指指向为$\Sigma$面法向量$\vec{n}$。
- $cos\alpha$、$cos\beta$、$cos\gamma$：$\vec{n_0}=(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)$
非环路积分：$\int_L Pdx+Qdy+Rdz$
补成环路
略
Ⅰ类曲面积分 $\iint_\Sigma f(x,y)dS$
替代法
$=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2 + z_y^2}dxdy$
Ⅱ类曲面积分 $\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$
投影法
$\iint_\Sigma P(x,y,z)dydz = \pm \iint_{D_{xy}} P(x,y,z(x,y))dydz$
具体正负看是向上（右、前）的面还是向下（左、后）的面，即法向量和坐标轴夹角$<\frac \pi 2$为$+$，否则为$-$
高斯公式
$\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$
- 外表面
- 连续可偏导
积分与路径无关
积分与路径无关的证明
- $\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv \frac{\partial P}{\partial y}$
- $\exists u(x,y) = Pdx+Qdy$（全微分）
- 曲面z=u(x,y)上每一个点梯度为$(\frac{\partial u}{\partial x} , \frac{\partial u}{\partial y})$
- $\forall$闭曲线$\oint_L = 0$
已知无关（$du=Pdx+Qdy$，P、Q已知），求$u(x,y)$
起点为$(x_0,y_0)$
$u=\int_{x_0}^xPdx+\int_{y_0}^yQdy+C$
没有起点
- 计算$u(x,y)=\int Pdx + C(y)=F(x,y) + C(y)$，$C(y)$未知，$F(x,y)$解出来了
- 由$\frac{\partial u}{\partial y} = Q$，即$\frac{F(x,y) + C(y)}{\partial y} = Q(x,y)$解出$C(y)$
- $u(x,y)=F(x,y) + C(y)$。注意有两个C，$C_1$是P不定积分出来的，$C_2$是解$C(y)$解出来的
发现无关求$\int Pdx+Qdy$
法一：同求$u(x,y)$
法二：特殊路径直接求（绕开奇点）
只知道无关，求PQ方程或PQ中的参数
利用 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$
应用（都以x轴方向为例）
质心
- 2-dim：$\frac{\iint x \rho dxdy}{\iint \rho dxdy}$
- 3-dim：$\frac{\iiint x\rho dxdydz}{\iiint \rho dxdydz}$或$\frac{\iiint x \rho dv}{\iiint \rho dv}$
转动惯量
- 2-dim：$I_x = \iint y^2 \rho d \sigma$
- 3-dim：$I_x = \iint (y^2+z^2) \rho dv$
环通量
$\int_L Pdx + Qdy + Rdz$
通量
$\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$
梯度、旋度、散度
- 梯度：$grad = (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$
- 散度：$div = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
- 旋度：$rot=
\left(
\begin {matrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end {matrix}
\right)$
