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七、无穷级数

  1. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和.
  2. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.
  3. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在$[-l,l]$上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在$[0,l]$上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式

函数项级数的收敛与和函数的概念

幂级数在其收敛区间内的基本性质
简单幂级数的和函数的求法
初等函数的幂级数展开式
函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数
狄利克雷(Dirichlet)定理
函数在$[-l,l]$上的傅里叶级数
函数在$[0,l]$上的正弦级数和余弦级数

级数敛散性判断(证明收敛/发散)

注:

  1. $n \rightarrow \infty$ 和 $n=0,1,2,…$ 不同。如$\sum \frac 1 n$发散,
  2. $$

数项级数

  1. 直接计算$\sum$,若算的出来说明收敛
  2. 两个重要级数
    1. $\sum \frac1{n^p}$
      • $p>1$收敛
      • $p \le 1$发散
    2. $\sum a q^n$
      • $|q|<1$收敛
      • $|q| \ge 1$发散
  3. 不满足级数收敛的必要条件($\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = 0$),说明发散

正项级数

比较法

  1. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{v_n} = l$,则$u_n$和$v_n$敛散性相同
    • 注意等价无穷小 如$sin \frac 1 {n^\alpha} $$\frac 1 {n^\alpha} $,$(e^{\frac 1 n}-1)$$\frac 1 n$
  2. ≤敛则敛,≥散则散

比值法、根值法

  1. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$
  2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n}$

积分法

令$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = f(n)$,$a_n > 0$,且${a_n} \downarrow$,有:

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $ \int_1^{+ \infty} f(n)$收敛

交错级数

莱布尼茨判别法:
${|a_n|} \downarrow$ 且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ ,则敛,且$S<a_1$

不知正负的级数

先加绝对值,判断是不是绝对收敛

其他无规律的级数

尝试拆成多项,分别证明每项收敛

求幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$收敛半径、收敛区间、收敛域

阿贝尔定理

收敛半径R

  1. $\rho = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
  2. $R= \frac1\rho$

收敛区间

$(-R,R)$

注:$(-R,R)$里的都是绝对收敛,$\pm R$ 处可能条件收敛,但条件收敛也是收敛

收敛域

$(-R,R)$加$R$和$-R$的判别

性质:

  1. $\sum (a_n+b_n)$的收敛域和收敛区间是$\sum a_n$的和$\sum b_n$的交集
  2. 幂级数进行有限次求导、积分不改变$(-R,R)$的敛散性,但可能改变$\pm R$ 处的
  3. 对$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$收敛半径、收敛区间、收敛域对应加$x_0$

求幂级数的$S(x)$

通过逐项求导、逐项求积化为典型的幂级数

  1. $\sum P(n) x^n$型:
    • $\sum x^n = \frac 1 {1-x}$
    • $\sum (-1)^n x^n = \frac 1 {1+x}$
  2. $\sum \frac {x^n} {P(n)}$型:
    • $\sum \frac {x^n} n = -ln(1-x)$
    • $\sum \frac {(-x)^n} n = -ln(1+x)$
    • 灭分母
  3. $\sum \frac {x^n} !$型:
    • $\sum \frac {x^n} {n!} = e^x$
    • $\sum \frac {(-1)^nx^{2n+1}} {2n+1!} = sinx$
    • $\sum \frac {(-1)^nx^{2n}} {2n!} = cosx$
    • 微分方程

求数项级数之和

构造成幂级数

展开为幂级数

  1. 泰勒公式直接展开
    $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) $$

注:函数展开成泰勒级数的充要条件:$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0$

  1. 通过逐项求导、逐项求积化为7种

傅里叶级数

狄里克雷收敛定理

在$f(x)$的连续点$x$处,级数收敛到$f(x)$; 在$f(x)$的间断点$x$处,级数收敛到$(f(x+0)+f(x-0))/2$, 即$f(x)$在间断点处的左右极限的平均值;

函数在$[-l,l]$上的傅里叶级数

$$a_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)cos\frac{n \pi}l x dx$$

$$b_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)sin\frac{n \pi}l x dx$$

$$f(x)=\frac{a_0}2 + \sum_{n=0}^{\infty} a_n cos\frac{n \pi}l x + b_nsin\frac{n \pi}l x$$

函数在$[0,l]$上的正弦级数和余弦级数

正弦函数:奇延拓
余弦函数:偶延拓

看到这里的姐妹一看就要暴富暴美,为什么不让这一天提前一点呢ヾ(≧▽≦*)o