- 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和.
- 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.
- 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在$[-l,l]$上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在$[0,l]$上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式
函数项级数的收敛与和函数的概念
幂级数在其收敛区间内的基本性质
简单幂级数的和函数的求法
初等函数的幂级数展开式
函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数
狄利克雷(Dirichlet)定理
函数在$[-l,l]$上的傅里叶级数
函数在$[0,l]$上的正弦级数和余弦级数
级数敛散性判断(证明收敛/发散)
注:
- $n \rightarrow \infty$ 和 $n=0,1,2,…$ 不同。如$\sum \frac 1 n$发散,
- $$
数项级数
- 直接计算$\sum$,若算的出来说明收敛
- 两个重要级数
- $\sum \frac1{n^p}$
- $p>1$收敛
- $p \le 1$发散
- $\sum a q^n$
- $|q|<1$收敛
- $|q| \ge 1$发散
- $\sum \frac1{n^p}$
- 不满足级数收敛的必要条件($\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = 0$),说明发散
正项级数
比较法
- $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{v_n} = l$,则$u_n$和$v_n$敛散性相同
- 注意等价无穷小 如$sin \frac 1 {n^\alpha} $
$\frac 1 {n^\alpha} $,$(e^{\frac 1 n}-1)$$\frac 1 n$
- 注意等价无穷小 如$sin \frac 1 {n^\alpha} $
- ≤敛则敛,≥散则散
比值法、根值法
- $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$
- $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n}$
积分法
令$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = f(n)$,$a_n > 0$,且${a_n} \downarrow$,有:
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $ \int_1^{+ \infty} f(n)$收敛
交错级数
莱布尼茨判别法:
${|a_n|} \downarrow$ 且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ ,则敛,且$S<a_1$
不知正负的级数
先加绝对值,判断是不是绝对收敛
其他无规律的级数
尝试拆成多项,分别证明每项收敛
求幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$收敛半径、收敛区间、收敛域
阿贝尔定理
收敛半径R
- $\rho = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
- $R= \frac1\rho$
收敛区间
$(-R,R)$
注:$(-R,R)$里的都是绝对收敛,$\pm R$ 处可能条件收敛,但条件收敛也是收敛
收敛域
$(-R,R)$加$R$和$-R$的判别
性质:
- $\sum (a_n+b_n)$的收敛域和收敛区间是$\sum a_n$的和$\sum b_n$的交集
- 幂级数进行有限次求导、积分不改变$(-R,R)$的敛散性,但可能改变$\pm R$ 处的
- 对$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$收敛半径、收敛区间、收敛域对应加$x_0$
求幂级数的$S(x)$
通过逐项求导、逐项求积化为典型的幂级数
- $\sum P(n) x^n$型:
- $\sum x^n = \frac 1 {1-x}$
- $\sum (-1)^n x^n = \frac 1 {1+x}$
- $\sum \frac {x^n} {P(n)}$型:
- $\sum \frac {x^n} n = -ln(1-x)$
- $\sum \frac {(-x)^n} n = -ln(1+x)$
- 灭分母
- $\sum \frac {x^n} !$型:
- $\sum \frac {x^n} {n!} = e^x$
- $\sum \frac {(-1)^nx^{2n+1}} {2n+1!} = sinx$
- $\sum \frac {(-1)^nx^{2n}} {2n!} = cosx$
- 微分方程
求数项级数之和
构造成幂级数
展开为幂级数
- 泰勒公式直接展开
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) $$
注:函数展开成泰勒级数的充要条件:$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0$
- 通过逐项求导、逐项求积化为7种
傅里叶级数
狄里克雷收敛定理
在$f(x)$的连续点$x$处,级数收敛到$f(x)$; 在$f(x)$的间断点$x$处,级数收敛到$(f(x+0)+f(x-0))/2$, 即$f(x)$在间断点处的左右极限的平均值;
函数在$[-l,l]$上的傅里叶级数
$$a_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)cos\frac{n \pi}l x dx$$
$$b_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)sin\frac{n \pi}l x dx$$
$$f(x)=\frac{a_0}2 + \sum_{n=0}^{\infty} a_n cos\frac{n \pi}l x + b_nsin\frac{n \pi}l x$$
函数在$[0,l]$上的正弦级数和余弦级数
正弦函数:奇延拓
余弦函数:偶延拓