了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.
了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.
了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在$[-l,l]$上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在$[0,l]$上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式

函数项级数的收敛与和函数的概念

幂级数在其收敛区间内的基本性质
简单幂级数的和函数的求法
初等函数的幂级数展开式
函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数
狄利克雷（Dirichlet）定理
函数在$[-l,l]$上的傅里叶级数
函数在$[0,l]$上的正弦级数和余弦级数

级数敛散性判断（证明收敛/发散）

注：

$n \rightarrow \infty$ 和 $n=0,1,2,…$ 不同。如$\sum \frac 1 n$发散，
$$

数项级数

直接计算$\sum$，若算的出来说明收敛
两个重要级数
1. $\sum \frac1{n^p}$
  - $p>1$收敛
  - $p \le 1$发散
2. $\sum a q^n$
  - $|q|<1$收敛
  - $|q| \ge 1$发散
不满足级数收敛的必要条件（$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = 0$），说明发散

正项级数

比较法

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{v_n} = l$，则$u_n$和$v_n$敛散性相同
- 注意等价无穷小如$sin \frac 1 {n^\alpha} $~~$\frac 1 {n^\alpha} $，$(e^{\frac 1 n}-1)$~~$\frac 1 n$
≤敛则敛，≥散则散

比值法、根值法

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n}$

积分法

令$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = f(n)$，$a_n > 0$，且${a_n} \downarrow$，有：

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $ \int_1^{+ \infty} f(n)$收敛

交错级数

莱布尼茨判别法：
${|a_n|} \downarrow$ 且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ ，则敛，且$S<a_1$

不知正负的级数

先加绝对值，判断是不是绝对收敛

其他无规律的级数

尝试拆成多项，分别证明每项收敛

求幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$收敛半径、收敛区间、收敛域

阿贝尔定理

收敛半径R

$\rho = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
$R= \frac1\rho$

收敛区间

$(-R,R)$

注：$(-R,R)$里的都是绝对收敛，$\pm R$ 处可能条件收敛，但条件收敛也是收敛

收敛域

$(-R,R)$加$R$和$-R$的判别

性质：

$\sum (a_n+b_n)$的收敛域和收敛区间是$\sum a_n$的和$\sum b_n$的交集
幂级数进行有限次求导、积分不改变$(-R,R)$的敛散性，但可能改变$\pm R$ 处的
对$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$收敛半径、收敛区间、收敛域对应加$x_0$

求幂级数的$S(x)$

通过逐项求导、逐项求积化为典型的幂级数

$\sum P(n) x^n$型：
- $\sum x^n = \frac 1 {1-x}$
- $\sum (-1)^n x^n = \frac 1 {1+x}$
$\sum \frac {x^n} {P(n)}$型：
- $\sum \frac {x^n} n = -ln(1-x)$
- $\sum \frac {(-x)^n} n = -ln(1+x)$
- 灭分母
$\sum \frac {x^n} !$型：
- $\sum \frac {x^n} {n!} = e^x$
- $\sum \frac {(-1)^nx^{2n+1}} {2n+1!} = sinx$
- $\sum \frac {(-1)^nx^{2n}} {2n!} = cosx$
- 微分方程

求数项级数之和

构造成幂级数

展开为幂级数

泰勒公式直接展开
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) $$

注：函数展开成泰勒级数的充要条件：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0$

通过逐项求导、逐项求积化为7种

傅里叶级数

狄里克雷收敛定理

在$f(x)$的连续点$x$处，级数收敛到$f(x)$；在$f(x)$的间断点$x$处，级数收敛到$(f(x+0)+f(x-0))/2$，即$f(x)$在间断点处的左右极限的平均值；

函数在$[-l,l]$上的傅里叶级数

$$a_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)cos\frac{n \pi}l x dx$$

$$b_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)sin\frac{n \pi}l x dx$$

$$f(x)=\frac{a_0}2 + \sum_{n=0}^{\infty} a_n cos\frac{n \pi}l x + b_nsin\frac{n \pi}l x$$

函数在$[0,l]$上的正弦级数和余弦级数

正弦函数：奇延拓
余弦函数：偶延拓

Ranye

七、无穷级数